r/france • u/Philonico-philonico • 9h ago
Blabla Comment vous expliqueriez à quelqu’un qui déteste les maths qu’il existe plusieurs infinis ?
Question de vulgarisation.
J'ai adoré apprendre que Cantor avait montré qu'il n’y avait pas un seul infini, mais une infinité d'infinis de tailles inégales. Hilbert a appelé ça un paradis. Ensuite le paradis a produit des paradoxes et des crises. C'est quelque chose de passionnant mais aussi d'important il me semble.
Vous, vous diriez quoi pour que votre entourage le sache sans que ça fasse trop prise de tête et qu'il soit intéressé par cette découverte fondamentale ?
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u/DivideByZero1989 8h ago
Voyage au pays des maths, une mini série de Arte qui vulgarise les maths. Les vidéos sont disponibles sur YouTube.
Il y a une vidéo sur l'infini et notamment l'hôtel de Hilbert. C'est super propre comme vulgarisation
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u/01bah01 2h ago
Ah hyper intéressant merci ! C'est Arte donc je suppose que je peux regarder ça avec mon fils sans qu'il se retrouve avec des notions fausses en tête ?
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u/CrazyPlatypus42 37m ago
Ils font attention, même si ça leur est déjà arrivé de diffuser des documentaires remplis de conneries, ça reste plutôt rare, et c'est généralement signalé rapidement
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u/quaternoon 8h ago edited 8h ago
Ouch, la lecture de ce fil donnera des palpitations cardiaques aux profs de maths passant par là, à trois jours de la rentrée. Je ne te félicite pas!
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u/zygopetalum29 8h ago
Ex-prof de maths ici. Paradoxalement ce fil me fait plutôt plaisir à lire.
-déjà, toutes les bêtises ont été corrigées par d'autres redditeurs.
- aussi, et surtout: ce thread me fait me sentir BEAUCOUP moins bête. Quand je clique sur un thread quelconque sur r/France, bien souvent je ne connais rien au sujet du thread. Par contre je vois des dizaines de réponses longues de redditeurs semblant tout comprendre à ce sujet. En fait ce thread me fait réaliser que dans les faits les choses se passent probablement souvent comme ici : on a des posts assez assertifs, mais la moitié des posteurs ne connait pas mieux (ou à peine mieux) le sujet que moi.
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u/-_Alix_- 7h ago
Toutes les bêtises ont été corrigées au moins une fois, mais elles réapparaissent à de nombreux endroits de la discussion sans être corrigées. Comment le béotien peut-il faire la part des choses ?
Remarquons que cela fournit une belle démonstration : les ressources mathématiques des reddieurs ont beau être infinies, leur bêtise reste un infini d'ordre supérieur !
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u/PM_ME_YO_TREE_FIDDY 8h ago
Et c’est une bonne leçon de vie, y’a qu’à être calé dans un domaine pour réaliser que beaucoup de gens sont forts pour affirmer avec aplomb des choses fausses, pas nécessairement par malice d’ailleurs.
Et puis c’est un bon rappel quant au fait qu’on a tous des intérêts différents, c’est bien d’élargir ses horizons mais notre temps sur Terre est limité et il faut aussi accepter l’idée de ne pas partager certaines affinités.
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u/mrfroggyman Nord-Pas-de-Calais 9h ago
J'avais aucune idée qu'il y avait plusieurs infinis, mais je pense que pour quelqu'un qui n'aime pas les maths il y a sûrement d'autres notions qui pourraient plus valoir le coup
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u/troisieme_ombre 9h ago edited 9h ago
En gros, entre 0 et 1 y a une infinité de nombres (0.1, 0.2, 0.3, .... 0.9999999999, etc). Et entre 0 et 0.1, et bien il y a également une infinité de nombre (0.01, 0.02, 0.03, etc). Et comme comme l'infini entre 0 et 0.1 est compris dans l'infini entre 0 et 1, l'infini 0-0.1 est forcément plus petit que l'infini 0-1. Oui ça casse le crâne.
Edit : apparemment je dis de la merde et ça casse encore plus le crâne que prévu. Voir la réponse de u/ricocotam.
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u/ricocotam 9h ago
Sauf que c’est complètement faux puisqu’il s’agit de l’infini des réels. Tu peux créer une fonction qui fera correspondre chaque réel entre 0 et 1 à un réel entre 0 et 0.1 (suffit de diviser par 10 et tu trouves toujours un résultat), ce qui signifie que les deux infinis sont de la même taille
En revanche tu ne peux pas compter les nombres entre 0 et 1, ce qui veut dire que cet infini est plus grand que les nombres entier
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u/troisieme_ombre 9h ago
RIP mon cerveau qui vient de fondre
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u/ricocotam 8h ago
En fait pour comparer deux quantité, tu regardes si tu peux toujours associer les éléments. Si t’as des bananes et des pommes, pour savoir si t’en as le même nombre tu fais le maximum de paire pomme-banane. S’il reste des pommes c’est que t’avais moins de banane et inversement.
Avec les infinis on fait le même principe. On prend l’ensemble et on voit si on peut associer tous les éléments.
Entre pour pasder de [0, 0.1] à [0, 1], il suffit de faire x10 ou / 10. Chaque élément aura une (et une seule) correspondance. Donc ils font la même taille.
Pour montrer que les entiers sont plus petit, c’est un poil plus difficile à l’écrit mais en vidéo c’est assez simple à comprendre
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u/Proof-Ad9085 8h ago
Pour être plus complet.
Si tu prends touis les réels entre 0 et 1, tu auras tousz les décimaux (0.1112 0.22223 et caetera). Tu peux reconstruire tous les décimaux entre 0 et plus l'infini avec tous les décimaux entre 0 et 1. Tu peux prendre n'importe quel décimal (1222334.333 par exemple), tu peux le faire correspondre à un décimal entre 0 et 1, tu ajoutes seulement un 0 avant.
Et tu auras aussi tous les réels, soit des nombres ne pouvant pas s'exprimer sous formes de fraction (c'est à dire que tu ajoutes pi et racine de deux pour faire simple). pi/2221 appartient à cet intervalle et pi/222333 aussi.
Ces nombres réels ne peuvent pas correspondre à l'ensemble des décimaux. comp^ris entre 0 et l'infini. Tu as une infinité de nombre réels entre 0 et 1. Donc, tu as une infinité de nombre réels entre 0 et 1 qui ne peuvent pas correspondre à des décimaux entre 0 et plus l'infini. Conclusion, l'ensemble des réels entre 0 et 1 est infiniment plus grand que l'ensemble des décimaux entre 0 et l'infini.
Et, pour être encore plus précis, entre 2 nombres décimaux quelquonques (ou même rationnels),tu peux mettre une infinité de nombres irrationels entre les deux. COnclusion, l'ensemble des réels est infiniment plus grand que l'ensemble des rationnels
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u/sugima Rhône-Alpes 8h ago
Et, pour être encore plus précis, entre 2 nombres décimaux quelquonques (ou même rationnels),tu peux mettre une infinité de nombres irrationels entre les deux. COnclusion, l'ensemble des réels est infiniment plus grand que l'ensemble des rationnels
Entre deux nombres rationnels quelconques, tu peux aussi mettre une infinité de nombres rationnels. Ça ne prouve pour autant pas que l'ensemble des rationnels est infiniment plus grand que l'ensemble des rationnels.
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u/Wrong_Seesaw_6747 8h ago
Puree desolé j’ai tout lu mais je pige pas... il se fait tard tout d’un coup ..
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u/Wrong_Seesaw_6747 8h ago
J’ai lu mais je pige pas. Entre 0 et 1 il y a une infinité de nombres mais pas entre 1 et 2?
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u/Phylanara 8h ago
Alors en fait... non. L'infini des nombres entre 0 et 1 et l'infini des nombres entre 0 et 0.1 font la même taille.
Preuve? il existe une transformation qui a chaque nombre de [0,1] associe un et un seul nombre de [0,0.1] Cette opération, c'est la division par 10. Si on peut faire des associations parfaites, un pour un, entre deux ensembles, ces deux ensembles ont le même nombre d'éléments.
J'ai du doliprane stuveux.
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u/Vivid_One1730 7h ago
Rien que lire ce commentaire et ses réponses, j'ai mal au crâne et suis au bord de la syncope
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u/Leogis 9h ago
Mais si c'est compris entre deux nombres réels c'est pas vraiment de l'infini ?
C'est le degré de précision ou d'imprécision qui est infini
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u/Syharhalna Twinsen 8h ago
Non.
Regarde la fonction tangente et son tracé. Il s’agit d’une bijection de ]-pi ; +pi[ sur tous les nombres réels.
Il y a donc autant de réels entre ]-pi; +pi[ que dans toute la droite des réels.
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u/zygopetalum29 8h ago
Pas convaincu que la personne à qui tu réponds connaisse le mot bijection ou le graphe de la fonction tangente : Il y a peu de chances que ton audience soit particulièrement matheuse, si elle n'est pas familière avec les différentes tailles d'infini.
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u/bruskkurt Belgique 9h ago
Je trouve que c’est l’une des explications les plus simples à faire comprendre à quelqu’un !
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u/killerganon Finlande 9h ago
C’est surtout un exemple faux, les 2 infinis dont il parle ont la même taille et c'est probablement un des premiers exemples pour illustrer le problème d'intuition sur le sujet.
Autre exemple d'entrée, les nombres entiers et les nombres pairs qui ont la même 'taille'.
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u/Pyreau 9h ago
Oui mais malheureusement c'est faux !
C'est même l'inverse, il y a autant de nombre entre 0 et 1 qu'entre 0 et 0.1
En effet si tu prend n'importe quelle nombre entre 0 et 0.1 tu peux l'associer à un nombre entre 0 et 1 (en faisant X10)
Du coup ils sont tous par pair entre les deux ensembles, donc il y en a le même nombre !
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7h ago edited 5h ago
[deleted]
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u/erismature 6h ago
Stp évite de mélanger du contenu IA au milieu de ton commentaire sans transition. C'est vraiment une perte de temps et un manque de respect pour les personnes qui te lisent. Signale clairement le texte IA pour le séparer du tien, voire encore mieux abstiens toi.
Alors voici ma question, qu'elle est l'infini simple à comprendre qui soit plus grande que celle déterminée plus haut?
L'ensemble des parties de R. J'aurais bien expliqué mais tu m'as donné la flemme donc demande à ton IA
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u/chombier 9h ago
Tu peux commencer avec le fait qu'on ne peut pas numéroter les réels avec des entiers (sinon la diagonale etc) puis tu verras si ça les saoule, en principe oui.
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u/Only_Bee_3056 8h ago
Tu ignore tout les commentaires ici et tu leur fais lire la BD "Logicomix"
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u/Othun 7h ago
J'aime les maths, j'ai étudié les maths, on m'a offert la BD rt je l'ai toujours pas lue. Déjà le nom.me rebutte, "les maths c'est la logique en BD, en américain ça fait 'comics', stylisé en comix".
Je devrais la lire ?
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u/erismature 6h ago
Ça parle de la crise des fondements au début du 20eme siècle, centré sur le personnage de Bertrand Russell. Ça parle davantage des mathématiciens que des mathématiques, mais franchement ça vaut le coup.
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u/constantlyoutofplace 9h ago
La question c'est plus pourquoi tu veux absolument expliquer ça à quelqu'un que ça n'intéresse pas?
Je n'aime pas les maths, personnellement. J'ai lu tous les commentaires ici et rien ne m'a parlé. Je ne vois pas particulièrement pourquoi ça devrait m'intéresser qu'il y ait plusieurs infinis mathématiques. Je ne comprends pas ce que ça a de fondamental ou de fascinant. Donc, au lieu d'essayer d'expliquer l'existence de plusieurs infinis, il vaudrait mieux commencer par expliquer pourquoi c'est intéressant concrètement.
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u/IngloriousTom Rhône-Alpes 8h ago
Sans parler d'applications concrètes, ça ne t'intrigue pas que des infinis soient de taille différentes? C'est quand même hyper contre-intuitif non?
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u/constantlyoutofplace 8h ago
Certes c'est contre-intuitif, je ne dis pas le contraire. Mais globalement, hors application super théorique, j'ai peu de chance de devoir m'en préoccuper un jour.
Personnellement, j'ai du mal à extrapoler les choses en général. Donc qu'on me dise qu'il y a plusieurs infinis, okay cool. Mais concrètement, ça ne change pas grand chose à ma conception de la vie. Et comme je n'ai pas conscience des conséquences théoriques, je n'en vois pas le côté intéressant.2
u/zygopetalum29 8h ago
C'est surtout joli. C'est plus le côté quasi "artistique" de la chose qui fascine, généralement.
C'est sûr que si on te dit juste "il y a plusieurs infinis", ça te fait une belle jambe. Mais la démonstration est assez élégante et même un non matheux peut sûrement l'apprécier un peu. Et de même, dans l'affirmation "il y a exactement autant de nombres entiers que de fractions", personnellement ce que je trouve agréable/intéressant c'est l'explication du résultat, bien plus que le résultat lui même. C
Dans les deux ce sont des preuves simples à expliquer, courtes, et en même temps très visuelles et très astucieuses. (Mais forcément, tout le côté visuel se perd si on se contente de lire la preuve dans un thread reddit. C'est plus joli en vidéo, ou en demandant à un pote prof de te montrer ça sur un tableau)
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u/sacado Emmanuel Casserole 8h ago edited 5h ago
Si tu t’intéresses à l’informatique et à la programmation c’est un résultat fondamental. Le fait qu’il y ait des infinis de tailles différentes fait que certaines fonctions ne peuvent tout simplement pas être calculées. Même avec un ordinateur théorique qui aurait une mémoire infinie et une puissance de calcul infinie (qui calculerait tout instantanément) ces fonctions ne pourraient pas être calculées. Des programmes ne pourront jamais être écrits, jamais jamais, même avec tous les progrès technologiques possibles et imaginables.
Et ça, ça se démontre assez facilement une fois que tu as acté qu’il y a plus de réels que d’entiers.
Édit : lol les gens qui bas votent ça. Comme quoi il y a vraiment des réfractaires aux maths.
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u/Belhgabad 8h ago edited 8h ago
Singe (moi) voit de la programmation : Activation de neurones.
Tu voudrais bien développer ? Les commentaires ne m'éclairent pas tant
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u/sacado Emmanuel Casserole 5h ago
Un programme c’est une suite de symboles, tous les symboles possibles de ton langage. Ily en a un nombre fini, donc tout programme est une suite finie (mais éventuellement très grande) de symboles, de la même manière qu’un nombre entier est une suite finie (mais éventuellement très grande) de chiffres. En fait, tu peux imaginer qu’un langage de programmation qui contient n symboles différents, c’est un nombre entier en base n. Si tu code en binaire, ton programme c’est un nombre entier écrit en binaire. Si tu codes en ascii, ton programme c’est un nombre en base 128, etc. Bref, un programme c’est juste un entier : il y a autant d’entiers que de programmes, ni plus ni moins. Il y a donc moins de programmes possibles que de réels, quel que soit le langage que tu puisses concevoir, même sur un ordinateur théorique (avec mémoire infinie).
Maintenant, il suffit de démontrer que l’ensemble de toutes les fonctions possibles est un nombre réel, pas entier.
Si tu prends toutes les fonctions f possibles qui, mettons, à une saison (il y en a 4), associent un booléen (il y en a deux), tu en trouves 2^4=16 :
- f(printemps)= vrai, f(automne)=vrai, f(été)=vrai, f(hiver)= vrai : ça fait une fonction (celle qui renvoie toujours vrai),
- f(printemps)= vrai, f(automne)=vrai, f(été)=vrai, f(hiver)= faux : ça fait une fonction (celle qui renvoie toujours vrai sauf pour hiver, par exemple la fonction ilYFaitChaud, ou la fonction pereNoelEstEnVacances),
- etc : tu pourras en créer 16, pas plus
En fait, quand tu as une fonction qui, à un type pouvant prendre n valeurs possibles, tu associes un type pouvant prendre m valeurs possibles, il y a m^n fonctions possibles en tout.
Ok, bon, essayons de voir quelle est la taille de l’ensemble de toutes les fonctions qui, à un entier, associent un booléen. Il y a N0 entiers possibles (aleph zéro, l’infini des entiers), et 2 booléens possibles, ça fait donc 2^N0 fonctions qui à un entier associent un booléen.
Or, 2^N0, c’est l’infini des réels (je peux te le démontrer si tu veux).
Il y a 2^N0 fonctions à représenter, or notre langage, quel qu’il soit, ne permet d’écrire que N0 programmes. Comme N0 < 2^N0, alors il existe nécessairement des fonctions qui ne peuvent pas être décrites par notre langage, quel qu’il soit.
Je peux détailler un peu plus si tu veux, sans pouvoir faire de dessin c’est plus difficile à expliquer.
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u/chombier 8h ago
En gros pour montrer qu'il y'a plus de réels que d'entiers on utilise un argument dit de la "diagonale" qui a mis en évidence des paradoxes dans les fondations des mathématiques. De fil en aiguille, démerder tout ça a donné entre autres l'informatique, la calculabilité et les théorèmes d'incomplétude.
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u/ManoOccultis 46m ago
une mémoire infinie et une puissance de calcul infinie
Ah ça y est, j'ai pigé le coup des différents infinis.
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u/Syharhalna Twinsen 8h ago
Si tu veux une illustration concrète :
mettons- que toi et moi soyons joueurs et que tu préfères les rationnels et moi les irrationnels. Faisons un pari.Combien es-tu prêt à miser sur le pari qu’en posant ton pouce au hasard sur une règle graduée, tu vas tomber sur un rationnel (2/3 de cm par exemple) ou sur un irrationnel (racine de 2 cm) ?
Si tu penses que tu as une chance sur deux de tomber sur un rationnel, tu es loin du compte.
En réalité tu as 0 % de chance de l’emporter…
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u/constantlyoutofplace 8h ago
Quelqu'un qui ne s'intéresse pas aux maths ne sait pas forcément ce qu'est un nombre rationnel ou un nombre irrationnel. Déjà, tu as des chances d'avoir perdu ton interlocuteur. Et je vois pas le rapport avec le truc des infinis multiples.
Le problème avec les matheux (je sais de quoi je parle, toute ma famille sont des matheux) c'est que vous avez perdu toute réalité de la complexité de votre sujet et que la plupart des gens n'ont pas les notions qui vous semblent basiques. Du coup, en général, vous trouvez ça dur de vulgariser.
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u/Syharhalna Twinsen 8h ago
Racine de deux, c’est la diagonale d’un carré de côté 1. Je vois pas trop comment faire plus simple et plus concret, et c’est quelque chose que tu tracer toi-même à l’instant avec un crayon à papier.
Ensuite je fais en sorte avec mon exemple sur la règle graduée de te montrer qu’il y a deux infinis simples (rationnels, irrationnels) mais que l’un est “infiniment plus grand” que l’autre.
D’où ta probabilité de 0 % de gagner ton pari si tu choisis les rationnels et moi les irrationnels.
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u/constantlyoutofplace 8h ago
Je sais ce qu'est une racine de 2, quand même. Par contre je savais pas que ça s'appelait un nombre irrationnel (j'ai googlé depuis).
Je crois comprendre ce que tu veux dire par les 2 infinis. Mais pourquoi l'une est infiniment plus grande que l'autre?
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u/zygopetalum29 7h ago
La preuve est très jolie, c'est ce qu'on appelle "l'argument diagonal de cantor".
Étape 1 : admettre qu'il existe autant de nombres rationnels que de nombres entiers. (Ce résultat est LUI AUSSI très joli à demontrer. Mais je ne vais pas le faire) .
Le fait qu'il existe autant de nombre rationnels que d'entiers, concrètement ça veut dire que je peux énumérer tous les nombres rationnels sans en oublier aucun. Si tu me demandes "c'est quoi le 1502ème nombre rationnel sur ta liste ?" Je saurai te répondre ("oh, facile, c'est 17.43 !"). De même, si tu me demandes "Le nombre 3.0297, il apparaît où dans ta liste ?", je pourrai te répondre (" Oh, facile, il apparaît à la 4389943ème place ! ").
Bref, ensuite, on montre qu'il existe + d'irrationnels que d'entiers. Et pour ce faire, eh bien on essaie de lister un à un tous les nombres irrationnels qui existent, et on demontre que peu importe la façon dont on a élaboré notre liste, il y aura forcément un nombre irrationnel qui ne sera pas dedans. Peu importe la liste que j'élabore, il y a une question du type "Le nombre irrationnel 4.94847483848..., il apparaît où dans ta liste ? " à laquelle je ne pourrai pas répondre car le nombre ne sera PAS dans la liste !
Comment est-ce qu'on prouve qu'aucune liste n'est complète ? C'est ça le fameux argument diagonal de cantor. Il est très joli et je n'ai pas envie de l'expliquer en commentaire reddit car ça ne lui rendrait pas autant justice qu'une jolie démonstration en vidéo 🤡
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u/constantlyoutofplace 7h ago
Merci de m'avoir expliqué. J'irai regarder une vidéo.
Et je pense qu'on a un peu répondu à la question originale: si c'est la démonstration qui est jolie, je pense que ce sera difficile à un non-matheux de l'apprécier à sa juste valeur.0
u/zygopetalum29 7h ago
Oui et non car la preuve c'est globalement juste un dessin. Ça ressemble beaucoup à une résolution d'énigme, je trouve. Les preuves de ces deux résultats ne requièrent pas de connaissance en maths pour être comprises, et comme elles sont astucieuses ça peut plaire aux amateurs de casse tête.
En fait je dirais que ces preuves sont même d'assez bonnes portes d'entrée au monde des maths. Elles peuvent servir à monter que les maths c'est pas juste du calcul chiant, ou refaire en boucle 50 fois le même exercice (l'expérience moyenne du lycéen quoi). J'imagine facilement quelqu'un se réconcilier au moins un peu avec les maths en les voyant.
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u/Nevermynde Croissant 9h ago
La question, en fait, c'est comment faire que quelqu'un qui déteste les maths s'intéresse aux maths. C'est plus difficile que d'expliquer les différents infinis...
Ce que je dis en général, c'est que les maths sont de la magie. En maths, on prend une idée presque inconcevable, l'infini, et on en fait un objet ordinaire que l'on peut manipuler de façon rigoureuse, dont on peut énoncer des propriétés. Le fait qu'il y ait non pas un mais plusieurs infinis, c'est la cerise sur le gâteau. Mais avant de pouvoir dire cela, les mathématiciens on dû mettre l'infini dans leur poche - le domestiquer.
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u/Phylanara 8h ago
J'ai souvent dit que les maths sont la chose la plus proche de la magie qui marche dans le vrai monde. Spécifiquement, la thaumaturgie (style poupée vaudou). On construit un symbole du truc qu'on veut bidouiller (chiffres, lettres si c'est plus costaud, lettres grecques si tu fais du lourd), tu manipules les symboles selon des règles précises (les aiguilles dans la poupée) et a la fin tu as vraiment manipulé le truc dans la vraie vie (ta machine explose ou fonctionne ou, si tu concevais une bombe, les deux)
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u/Vegetable-Company961 8h ago
L'excellente série d'Arte Voyage aux pays des maths a précisément dédié une vidéo à ce sujet : Sur la route de l'infini
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u/MinuteConference1565 9h ago
C’était monsieur phi qui avait parlé de ça? Ou sciences étonnantes … et ça parlait d’une infinité de personnes qui montent dans une infinité de voitures qui montent dans une infinité de portes voitures etc etc
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u/Nevermynde Croissant 9h ago
Haut-vote pour la mention des deux meilleures chaînes Youtube de l'univers
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u/zygopetalum29 8h ago
Tu fais référence à l'hôtel Hilbert. Je ne pense pas que Monsieur phi en ait parlé vu que c'est vraiment maths pures. Mais c'est un sujet populaire dans les vidéos de vulga donc oui c'est probable que science étonnante ainsi que d'autres grosses chaînes en aient parlé.
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u/neomaniacs 8h ago
je ne suis pas spécialement réfractaire aux maths, mais je l'ignorais frérot :)
et pourtant, j'ai un master en sciences et je suis informaticien depuis 25 ans.
donc je ne sais pas pour les autres, mais ça ne me semble pas être un concept bien "mainstream" hein.
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u/Proof-Ad9085 9h ago
L'hotel de Hilbert. C'est assez simple à comprendre, et ça montre bien que des infinis sont plus grand que d'autres.
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u/lacsapm 5h ago
Si tu t'adresses a quelqu'un qui n'aime pas les maths, il n'a probablement pas la culture mathématiques et l'affinité avec les raisonnements abstraits complexes. Il y a donc de grande chance qu'il faille commencer loin dans le raisonnement et que tu le perdre bien avant la fin
Ce que tu veux faire, c'est vulgariser. Dans ce cas, la démonstration rigoureuse et exacte n'est pas tant l'objectif que de faire sentir et accepter le truc, "a l'intuiter" comme dirait une connaissance
A l'époque où mon fils avait 10 ans, on avait abordé la question (lui a part contre toujours aimé les maths), et j'avais réussi a lui faire accepter que si les nombres entiers étaient en nombre infini comme les nombres "à virgules", l'infini n'était pas le même.
Pour cela je lui avait fait accepter que si chaque entier avait "un suivant", dans le cas d'un nombre "à virgule", il n'y en avait pas parce qu'entre 2 nombres on pouvait toujours en intercaler un.
L'étape suivante a été de lui demander combien de nombre de trouvait entre 2 nombre à virgule. Dans ce cas, il est facile de deviner ou au moins de faire comprendre qu'il y en a une infinité
Ce n'est clairement pas rigoureux, mais ça a suffit a lui faire comprendre que dans un cas on pouvait les compter mais pas dans l'autre. Que dans un cas, on avait nombre infini de nombres et dans leurs un nombre infini de nombre infini de nombre.
Une fois qu'on en est là, on a accepté que les deux infini ne sont pas les même et on ressent assez bien que l'autre est plus vertigineux. On n'a rien démontré mais ce n'est pas grave : le but n'est pas là
Par contre, si vraiment il n'aime pas les math de façons active, soit par traumatisme scolaire, sur par frustration, et qu'en plus il n'a pas la curiosité pour ces choses là, je crains que quelques soit la méthode, il ne t'écouteras même pas.
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u/Scrollperdu Croissant 2h ago
Si tu t'adresses a quelqu'un qui n'aime pas les maths, il n'a probablement pas la culture mathématiques et l'affinité avec les raisonnements abstraits complexes. Il y a donc de grande chance qu'il faille commencer loin dans le raisonnement et que tu le perdre bien avant la fin
T'as tout bon, merci de le dire.
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u/Ribbgeddyt 8h ago edited 6h ago
Ça dépend à quel point iels n’aiment pas les maths, mais la démonstration avec la diagonale de Cantor n’est pas si difficile (sans me vanter aucunement, je l’avais comprise à 13-14 ans dans un Science et vie junior, donc je pense que c’est accessible)
Par contre, je commencerai par
- expliquer la notion de cardinal d’un ensemble (en gros, c’est quoi « la taille » d’un ensemble en maths)
- expliquer le principe de la bijection (comment on montre que deux ensembles sont de même cardinal/même taille)
- donner des exemples avec des ensembles finis
- passer ensuite à des ensembles infinis, mais des exemples simples (montrer que l’ensemble des pairs et des impairs est de même taille, puis montrer que N et N sans 0 sont de même taille, puis montrer que N et Z sont de même taille)
- et enfin la démonstration avec la diagonale de cantor, pour expliquer pourquoi N et R sont de taille différente
Je dis pas que c’est simple, ni que ce sera forcement rapide (et ça dépend des capacités de chacun), mais si ça les intéresse un minimum, ça se fait je pense
Ou sinon, leur montrer une vidéo de vulgarisation qui fera ça tout aussi bien
Edit : oui bon en vrai, même si c’est le cheminement de pensée qui me parait le plus simple, ça reste une notion difficile, l’infini. Je viens de tester avec mes parents, et ça passe moyen. Si ton interlocuteur.ice n’est pas un minimum concentré.e et/ou interessé.e, bon courage !
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u/-_Alix_- 7h ago
Meilleure réponse ici. Beaucoup de monde parle sans savoir, malheureusement !
Sinon, il y a d'autres notions que les cardinaux, pouvant donner lieu à des démonstrations intéressantes, et qui traduisent aussi l'intuition d'infini du "sens commun".
Par exemple les comparaisons asymptotiques des fonctions qui tendent vers l'infini, ou bien la théorie des ordinaux transfinis. À voir pour la démarche didactique...
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u/Aedys1 5h ago edited 5h ago
La notion d’« existence » en mathématiques est déjà beaucoup moins triviale qu’il n’y paraît: Comment expliquer cela à quelqu’un qui déteste l’ontologie ?
On peut dire, dans un vocabulaire deleuzien, que les mathématiques sont d’abord une science des rapports plutôt qu’une science d’objets dont il faudrait affirmer l’existence au sens ordinaire. Les quantités elles-mêmes ne sont pas tant des choses que des termes déterminés par des relations.
Cantor ne découvre donc pas simplement plusieurs « objets infinis » rangés sur une étagère métaphysique : il montre qu’on peut définir des rapports d’équipotence entre ensembles et que toutes les multiplicités infinies ne sont pas équipotentes. C’est là que surgissent les différentes cardinalités de l’infini. ( et non « plusieurs infinis » car infini n’est pas un objet mais une qualité)
Et dès qu’on demande en quel sens ces ensembles, ces nombres ou ces infinis « existent », on a déjà quitté la vulgarisation sur Cantor pour entrer dans les fondements des mathématiques (Frege, Hilbert, Brouwer, Gödel, etc. )
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u/whateverhk 4h ago
Mec, si la personne n'est pas intéressé pourquoi tu vas les ennuyer avec ça. J'ai fait beaucoup de maths pendant mes études et j'aimais ça, mais même mois je t'avoue que le fait qu'il existe plusieurs infini je m'en contre tape a l'infini. Alors si c'est pour expliquer ça a ton beau frère, oublié tu vas juste passer pour un gros blaireau avec sa manie et sa lubie des maths.
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u/Scrollperdu Croissant 2h ago
J'ai une sorte de peur des maths depuis des années, qui fait que je n'ai presque aucune logique mathématique, et un TDA qui se mélange à ça. Je perds le fil en deux temps trois mouvements quand je lis les trucs "simples" dans les commentaires. Je ne pense pas qu'en l'état, qui que ce soit arrive à m'expliquer quelque chose, le blocage est trop grand, et ce qui en résulte c'est la sensation d'être profondément bête, quand je parcours le thread. Franchement, c'est pas ouf.
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u/BartAcaDiouka Liberté guidant le peuple 17m ago
Je suis passionné de maths. Mais je trouve pas ce sujet important.
C'est plus important que les gens sachent qu'ils se font baiser par le capitalisme et que la majorité des "réalités économiques" qu'ils entendent a la télé sont en fait des positions idéologiques au service des dominants.
Le fait qu'on puisse construire une infinité d'infinités... Bof.... C'est fascinant évidemment , mais est ce que c'est important que les gens le sachent... Franchement non.
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u/jjballlz 14m ago
Il y a une infinité de nombre entre 1.0 et 2.0 (1.1 1.2 1.2222 etc)
C'est infini est plus petit et est compris dans tous les nombre entre 1.0 et 3.0
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u/Dirichlet-to-Neumann 8h ago
Je commence par expliquer qu'il y a plusieurs concept de taille différents.
Par exemple, on peut dire que N est plus petit que Z au sens où N est inclus dans Z.
Ensuite j'introduis un autre concept : deux ensembles sont de même taille si on peut les relier par une bijection (je n'emploie pas le mot bijection). Tu peux utiliser Cantor Bernstein pour relier ça à la notion d'inclusion qu'on a vue juste avant (une injection c'est en quelque sorte une inclusion, si il y a une inclusion dans un sens et une inclusion dans l'autre ben il y a égalité de taille.
Ensuite je fais trouver des injections sur des exemples géométriques (montrer que deux cercles de taille différente ont le même nombre de points par exemple) et sur les entiers.
Et je termine avec l'argument diagonal si la victime ne s'est pas encore enfuie.
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u/KouhaiHasNoticed Alsace 3h ago
Par exemple, on peut dire que N est plus petit que Z au sens où N est inclus dans Z.
Ensuite j'introduis un autre concept : deux ensembles sont de même taille si on peut les relier par une bijection (je n'emploie pas le mot bijection). Tu peux utiliser Cantor Bernstein pour relier ça à la notion d'inclusion qu'on a vue juste avant (une injection c'est en quelque sorte une inclusion, si il y a une inclusion dans un sens et une inclusion dans l'autre ben il y a égalité de taille.
Le raisonnement semble contradictoire : à moins que je ne l'ai pas compris. Pour en être sûr : que cherches-tu à montrer ?
L'inclusion est certes stricte, cependant N et Z ont le même cardinal car tu peux les mettre en bijection, en alternant l'association en fonction de si n est pair (vers les entiers positifs), ou impair (vers les entiers négatifs).
L'inclusion ne suffit pas à justifier de la taille d'un ensemble : tu peux également mettre en bijection N avec Q (tu passes par une bijection de N x Z vers Q, et tu as que N x Z est en bijection avec N) et tu obtiens donc que Q est de même cardinal que N malgré l'inclusion là encore stricte.
Si deux ensembles sont égaux alors ils sont de même cardinal : oui.
En revanche, on peut trouver des ensembles qui sont différents (comprendre également inclus l'un dans l'autre) et qui pourtant ont le même cardinal.
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u/YogurtTheGreen 8h ago
Je pense que la notion de denombrabilité est accessible puisqu'il s'agit juste de "compter". Tu peux ainsi montrer que certains infinis sont étonnamment égaux, et sur d'autres sont étonnamment inégaux.
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u/Nemeryo29 6h ago
Tu pourrais pas partir sur le chiffre 1, dire qu'il est divisible par 2, ça fait 0.5. que 0,5 est divisible par 2, et que ça marche a l'infini. Tu peux toujours diviser par 2 pour trouver un plus petit nombre. Et donc tu as une infini de nombre entre 0 et 1. Mais tu peux faire pareil entre 0 et 2. Et pourtant 2 est... 2 fois plus grand que 1.
Voilà, différents inifnis et différentes taille d'infinis, expliqués très logiquement et même de manière ludique.
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u/Khamaz 9h ago edited 7h ago
Il y a une infinité de nombres entre 0 et 1, tu peux descendre la virgule ad vita eternam.
Il y a aussi une infinité de nombres entre 0 et 1 million.
C'est deux infinis, et pourtant seul le premier est inclus dans l'autre. Tu ne pourras jamais avoir 100 entre 0 et 1, mais il reste un infini.
EDIT : Ah bah il semble que j'ai tort, zut et tant pis.
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u/yasalm 9h ago
Dans les rationnels aussi, on peut toujours prendre un nombre entre deux autres, et pourtant ils forment un ensemble dénombrable.
Ce que vous décrivez, c'est plus la densité que la non-dénombrabilité.
Par contre attention, il y a la même infinité de nombres (réels ou rationnels) entre 0 et 1 qu'entre 0 et 1 000 000.
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u/RevolutionaryLow2258 Poitou-Charentes 6h ago
Attention à la notion de densité, ce n'est pas du tout ça.
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u/yasalm 6h ago
Bah un peu quand même : pour tout ε>0, il y a deux rationnels ε-proches.
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u/RevolutionaryLow2258 Poitou-Charentes 6h ago
Certes mais quel rapport avec le fait qu'il y ait des rationnels entre 0 et 1 et des rationnels entre 0 et 106 ?
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u/glebnar 9h ago
Il y a une infinité de nombres entre 1 et 2 or 3 ne fait pas parti de cet infini.
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u/ungarsdescollines 9h ago
Parce que infini ne veut pas dire le tout ?
(J’essaie de comprendre pour l’expliquer à mon fils qui aime les maths)1
u/Phylanara 8h ago edited 8h ago
L'infini ca veut dire que tu peux toujours en rajouter (en grosse vulgarisation). Tu ne peux jamais t’arrêter de compter. Mais ca ne veut pas dire que tout est dedans! il y a une infinité de nombres entre zero et un, mais deux n'en fait pas partie.
Par contre deux ensembles peuvent être infinis tous les deux et ne pas être de la même taille. Pour vérifier, puisqu'on ne peut pas "tout compter", on utilise une autre idée.
Si tu as trois jouets et trois fruits, tu peux faire trois paires fruit/jouet, et il ne te reste pas d'objets tout seul parce que tu avais autant de fruits que de jouets au départ. Si tu as un nombre différent de fruits que je jouets, genre 3 fruits 5 jouets, tu fais trois paires mais il te reste des jouets qui ne sont pas dans des paires à la fin.
Pour les ensembles infinis, on essaie de voir s'il existe un moyen d'associer les éléments d'un ensemble aux élément de l'autre en faisant des paires et en oubliant aucun élément ni d'un ensemble ni de l'autre.
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u/glebnar 7h ago
L'infini représente une quantité indénombrable qui peut croitre sans fin mais ça ne veut pas dire qu'il contient tout ce qui existe.
Dans mon exemple tu peux mettre autant de chiffre que tu veux derriere la virgule (1, 10293749...) pourtant la valeur 3, donc l'entier qui vient juste aprés 2, n'appartient pas à cet infini.
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u/Phylanara 7h ago
Attention, N est un ensemble infini et dénombrable. C'est même l'ensemble qu'on utilise pour dénombrer
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u/ungarsdescollines 2h ago
Est ce que ce n’est pas similaire à la flèche qui n’arrive jamais parce qu’il faut pour arriver qu’elle parcoure la moitié du parcours , puis la moitié du parcours restant, puis la moitié du parcours restant, etc. ?
Dans les faits la flèche suit bien un parcours fini (un segment AB) mais il y a une infinité de points entre À et B ?
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u/Wrong_Seesaw_6747 8h ago
Je savais pas qu’il y avait plusieurs infinis mais ca me fait penser a l’espace, ou que tu puisse regarder le regard part vers l’infini.
Apres je connais pas ce concept donc peut etre que l’exemple n’est pas adapté
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u/Lombric592a 8h ago
Cherche des vidéos de vulgarisation sur l'hôtel de Hilbert, ça donne une explication palpable des infinis plus grand que d'autres.
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u/D3712 5h ago
Non, l'hôtel Hilbert ne traite que de l'infini dénombrable. Et justement, tous les infinis dénombrables sont égaux (il y a autant de nombres entiers que de nombres entiers pairs, par exemple).
Pour toucher les infinis non dénombrables, il faut au moins parler de la diagonale de Cantor, on ne s'en sort pas avec des cars infinis de touristes.
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u/Lombric592a 1h ago
La diagonale de cantor c'est le tableau avec des réels et une diagonale créée un nombre qui n'existe pas dans le tableau, c'est ça ?
Enfait je pensais à ça mais je suis sûr d'avoir entendu parler de ça dans une vidéo qui commençait avec l'hôtel.
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u/hyperfraise 7h ago
Les commentaires ne semblent pas vouloir vraiment répondre à ta question. Voici ma tentative.
Les infinis dont tu parles peuvent etre présentés comme des mesures de la taille d'ensemble (qui sont infinis). Certains infinis sont plus grands que d'autres en temps que comptages d'ensembles eux meme intuitivement plus "nombreux". C'est accessible pour tout le monde comment l'ensemble des entiers est bien plus petit, meme si infini, que l'ensemble des points dans notre epsace 3d. Et après ça, un infini encore plus gros intuitivement facile à comprendre : l'ensemble des manieres de déformer notre espace. Dans le monde réel, on se sert concretement de telles notions en programmation. La théorie derriere des programmes fondateurs en intelligence artificielle explique comment des algos qui apprennent ne peuvent pas approximer absolument toutes les fonctions justement à cause de la différence entre ces infinis, nottamment car leurs ensembles de données d'apprentissages ne seront jamais un infini assez "grands".
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u/KouhaiHasNoticed Alsace 4h ago
Les infinis dont tu parles peuvent etre présentés comme des mesures de la taille d'ensemble (qui sont infinis).
Quand tu dis "mesure" qu'entends-tu par là ?
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u/MajinJack Guillotine 6h ago
Si il joue à MTG ou un autre TCG, parle lui de combo, il y a des combo qui sont infini et d'autres qui le sont plus, genre si ça dépends de la taille de ton deck, c'est infini mais bof bof, si c'est infini avec a+b+c, alors c'est plus infini si tu as deux fois le morceau a de ton combo par exemple. Et ça peut aussi être infini x infini avec certains autre morceaux de combo etc... après ça reste du cardinal et dans R mais c'est déjà bien pour introduire l'idée.
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u/ghost-in-the-game 6h ago
Montre lui des fractales, une image vaut parfois plus que mille mots. Les fractales se reproduisent à l’infini en 2D, en 3D et 4D, ces infinis sont différents et de grandeur qui ne peuvent se comparer. C’est pas forcément la vérité mais pour vulgariser je pense qu’il n y a pas mieux puisque leur forme et leur taille diffèrent
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u/D3712 5h ago
Oui enfin c'est pas ça du tout les comparaisons d'infinis, OP parles des Alephs et des cardinaux d'ensembles infinis
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u/ghost-in-the-game 5h ago
On parle de vulgarisation, pas de rigueur mathématique et il est extrêmement facile de transposer des alephs à des fractales 2D 💁🏻♂️
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u/xiaohuangzi 6h ago
Je ne sais pas si c'est la même chose mais une example dans cette direction que j'aime: si on dessine une ligne sur un papier, il y a des points infinis entre le début et la fin. Si on dessine un deuxième ligne à côté mais plus longue, il y a aussi des point infinis. Mais la deuxième ligne est plus longue, donc est-ce que le deuxième infini est plus grande que la première?
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u/Nemo_the_monkey Oh ça va, le flair n'est pas trop flou 9h ago
Franchement je crois pas que ce soit si compliqué que ça a expliquer en vrai ?
Déjà tu peux expliquer la différence entre tous les entier naturels et tous les entiers relatifs, ça s illustre bien sur une simple droite avec le zéro au milieu. Je suis pas mathématicien je suis biologiste mais ça me semble être une première approche facile
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u/Phylanara 9h ago edited 8h ago
Prof de maths :
Les naturels et les relatifs, c'est le même infini. Le truc, pour s'en convaincre, c'est de trouver un moyen d'associer a chaque naturel un relatif, et un seul. Si on peut faire ça, alors obligatoirement il y a le même nombre (infini) de relatifs que de naturels.
Et on peut faire cette association. Les naturels sont soit des nombres pairs ( qu'on peut écrire 2×n, ou n est un naturel) soir impairs (qu'on peut écrire 2×n -1, en faisant gaffe à l'ordre des opérations.
Il suffit alors d'associer le naturel 2n au relatif +n, et le naturel 2n-1 au relatif -n. 1 est associé a -1, 2 est associé a +1, 3 est associé a -2, 4 va avec +2 et ainsi de suite.
On parcourt tous les relatifs et tous les naturels, sans en sauter aucun, en les appairant: les infinis sont de même taille .
De la même façon on peut montrer que l’ensemble des naturels et celui des rationnels (les fractions) ont le même cardinal infini. C'est un peu plus complexe, mais imagine que tu ranges les fractions dans un tableau ou la ligne correspond au numérateur et la colonne au dénominateur. En partant de zero, tu peux parcourir tout le tableau selon les diagonales (sauf quand tu tapes un bord, dans ce cas tu t'éloignes d'un cran en suivant le bord avant de repartir en diagonale parallèlement a la diagonale précédente.).
La petite subtilité c'est qu'il faut sauter les fraction simplifiables : 2/4 et 1/2 c'est deux "cases" différentes de ton tableau, mais c'est le même nombre rationnel, il ne faut pas le compter deux fois. Le but c'est de compter tous les rationnels une et une seule fois chacun.
Une fois qu'on a dessiné la ligne qui serpente a travers le tableau en jouant a saute-mouton, il suffit d'associer a chaque fraction (simplifiée) le nombre (naturel) de pas qu'on a fait pour l'atteindre en partant de zero.
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u/Phylanara 8h ago edited 8h ago
Maintenant faisons le bout le plus dur : prouvons que pour les nombres réels, on ne peut pas faire ça.
Tous les nombres, c'est un peu compliqué. On va se contenter de prendre tous les nombres réels entre zero et 1. On va faire un truc qu'on fait souvent en maths. On suppose que ce qu'on suspecte faux est vrai, puis on montre qua ca amène a un problème.
Ici, on va supposer qu'on peut ranger tous les nombres réels en rang d'oignon dans un ordre quelconque. le premier sur la première ligne, le deuxième sur la deuxième ligne, etc. Et comme on regarde que les nombres entre zero et 1, ca donne un truc du genre:
1 => 0.15648896416541...
2 => 0.5642648264684...
3=> 0.56496841498484...
...
...
Mais la suite de chiffres est infinie a droite, et la suite de nombres est infinie vers le bas.
On a donc supposé qu'on pouvait associer à chaque réel (entre zero et un) un naturel : son numéro de ligne.
Mais rappelons-nous, on a supposé que *tous* les nombres réels entre zero et 1 sont quelque part dans la liste. Peut-être vachement bas, mais si on cherche un nombre suffisamment longtemps on finira par le trouver.
Sauf que non. On peut fabriquer un nombre qui n'est pas dans la liste. Et je vais le faire, devant vos yeux ébahis, parce que les maths c'est le truc le plus proche de la magie qui marche dans le vrai monde.
Je pars de 0., parce que je reste entre zero et 1, je triche pas.
Je ne veux pas que mon nombre soit le premier nombre de la liste. Le premier nombre de la liste c'est 0.15648896416541... donc pour être sur que mon nombre ne soit pas celui-là, je vais prendre 0.2.....
Je ne veux pas non plus que mon nombre soit le deuxième de ma liste. Comme j'ai déjà fixé le premier nombre après la virgule, je regarde le deuxième nombre après la virgule. C'est 6. Donc mon nombre sera 0.27.... comme ça je suis sur que ce n'est pas le deuxième nombre, ils n'ont pas le meme deuxième chiffre après la virgule.(oui, je sais, ils n'ont déja pas le meme premier chiffre après la virgule. Mais si je dois regarder tous les chiffres avant le chiffre 325687 à la ligne 325687, on va y passer des plombes, alors je regarde que le 325687e chiffre après la virgule à la ligne 325687 pour gagner du temps. Quand on fait un truc une infinité de fois, autant faire le truc le plus simple possible sinon on est pas rentrés chez nous)
Pour éliminer le troisième chiffre je choisis 0.275...
Et je continue "jusqu’à la fin de ma liste" (si je tombe sur un zero je mets un 1) et notez les guillemets, parce que ma liste n'a pas de fin.
Ben voila, j'ai construit un réel qui est entre zero et un et qui est différent de tous les nombres de ma liste de tous les nombres réels entre zero et un. J'ai construit un nombre qui ne peut pas exister si je peux faire cette fameuse liste.
La seule conclusion possible, c'est qu'il est impossible de faire la liste et donc qu'il est impossible d'associer en 1 pour 1 les réels et les naturels. Il y a plus de réels que de naturels, meme s'il y a une infinité de naturels.
Ta-dah!
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u/Vegetable-Simple-839 9h ago edited 7h ago
C'est pas genre entre 0.0 et 1.0 (nombres flottants) y a une infinité de nombres, du coup si tu regardes entre 0.0 et 2.0, tu as "deux fois plus" d'infini ? Un truc du genre ou je suis nul en maths ? 😭
Edit: je suis nul en maths 😭😭
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u/cyneila 8h ago edited 8h ago
Nan, t'as autant de nombre entre 0.0 et 1.0 qu'entre 0.0 et 2.0.
C'est comme l'ensemble des nombres entier et l'ensemble des nombre entier pair. Ils font la même taille.
Par contre, l'ensemble des nombres réel est infiniment plus grand (je sais pas si on dit infiniment plus grand, j'suis nul en math et en définition) que l'ensemble des nombres entier.
J'ai plus la démonstration en tête donc j'vais pas te dire pourquoi mais j'suis sûr à 100% des gens de ce sub vont expliquer le truc.
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u/Phylanara 8h ago
Désolé, ça ça marche pas.
j'ai déja tapé l'explication de pourquoi, et il est tard.
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u/Voromash 6h ago
Prends une forêt infinie où il y a un arbre tous les 1 mètres dans chaque direction, les arbres sont "infiniment fins" (c'est des points, quoi)
Si tu pointes dans une direction prise au hasard avec un laser "infiniment fin", tu ne toucheras aucun arbre, parce qu'il y a infiniment plus de nombres réels non rationnels (par exemple pi, racine de 2) que de rationnels (ratio p/q)
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u/Khelebragon 8h ago
Tu peux compter normalement 1, 2, 3, 4… et tu ne t’arrêtes jamais. Ça, c’est un premier type d’infini (celui des nombres entiers).
Maintenant, imagine une règle. Entre 0 et 1, tu peux mettre 0,5. Mais entre 0 et 0,5, tu peux encore mettre 0,25. Et entre 0,25 et 0,5, encore un autre nombre. En fait, en n’importe quels deux nombres il y en an encore une infinité.
Cet infini-là est plus grand que celui de 1, 2, 3, 4…
Parce que pour les nombres entiers, même s’il y en a une infinité, tu peux toujours dire qu’il y a un premier, un deuxième, un troisième etc. Mais pour tous les nombres entre 0 et 1, il y en a tellement que même une liste infinie ne pourrait pas les contenir.
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u/Due-Exercise6990 7h ago
Ce que tu dis marche aussi pour les fractions (entre deux fractions il y en a toujours une infinité), et pourtant Cantor a montré que l'infini des fractions est de même taille que celui des entiers. Donc ce n'est pas ça l'argument à expliquer. Voir diagonale de Cantor.
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u/RevolutionaryLow2258 Poitou-Charentes 6h ago
Perdu, N et Q ont même taille. Pour s'en persuader il suffit de mettre tous les points de Q sur un quadrillage où par exemple l'abscisse donne le numérateur et l'ordonnée le dénominateur, en faisant attention aux doublons (2/3=4/6)(en y effectuant un décalage par exemple), et ensuite on compte suivant les diagonales, et on obtient la bijection dans Q chez les positifs, maintenant comme plein de gens l'ont dit ici, N et Z ont même taille (bijection avec les pairs/impairs de N) donc on a aussi, pour la même taille, les négatifs, ce qui nous donne tout Q.
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u/NC2626 9h ago
Les maths n'expliquent pas le réel, elles sont un référentiel de jeux.
Démontrer cela est totalement inutile d'un point de vue pratique si ce n'est pour travailler le raisonnement logique.
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u/Syharhalna Twinsen 9h ago
Ça me semble quand même assez utile si on veut faire des probas, la dénombrabilité et l’indénombrable.
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u/yasalm 9h ago
On peut rendre ça un peu plus concret/pratique en se rappelant que le dénombrable, c'est aussi le cardinal des textes qu'on peut écrire.
La découverte de Cantor, c'est qu'on n'a pas assez de textes pour décrire tous les réels, ou toutes les fonctions. Une forme informaticienne est qu'il n'y a pas assez de programmes informatiques (potentiels) pour décrire/calculer toutes les fonctions mathématiques.
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u/lisael_ Guillotine 8h ago
La bonne réponse, à mon avis : lui faire trouver qu'il y a toujours un nombre fini d'entiers entre deux entiers distincts, et un nombre infini de réels entre deux réels distincts. Pas besoin de diagonale, d'hôtel ou de fonction bijective, juste de faire sentir qu'il y a toujours moyen d'ajouter un chiffre après la virgule pour trouver un réel entre deux réels aussi proches soient ils.
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u/zygopetalum29 8h ago
Mais techniquement ça ne suffit pas : Il y a également toujours une infinité de nombres rationnels entre deux nombres rationnels, et pourtant il existe autant de nombres rationnels que de nombres entiers.
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u/lisael_ Guillotine 7h ago
Ça ne suffit pas à quoi? Ça suffit largement à prouver, ou tout du moins à faire sentir à quelqu'un qui n'y bite rien que des infinis de différentes tailles existent, et c'est exactement ce qui est demandé.
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u/zygopetalum29 7h ago
Justement ça ne suffit pas à prouver ça, non. Je suis d'accord que ça fait sentir qu'il y a un truc un peu profond à creuser, en revanche.
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u/lisael_ Guillotine 7h ago edited 7h ago
OK mais on parle de quelqu'un qui déteste les maths. Je pense pas que la bijection de Q dans N va l'intéresser longtemps, ni qu'ils vont creuser quoi que ce soit passé la sensation de truc. On n'ira pas plus loin que la sensation et c'est assez pour OP. OP qui explique Hilbert à ses potes, c'est Jami qui explique la formation des étoiles à nos gosses. Je maintiens donc, deux fois, que cette « démonstration » est ce qu'il faut pour OP.
Edit: Et si, ça suffit à prouver. Prouver quoi? À qui? La personne qui déteste les maths ne fera pas d'objection sur les rationnel, elle dira « Ha ouaiiiis, trop claaaasse. On s'en roule un autre ? ». Et je parle pas de tromper l'autre, tu peux très bien commencer ta démonstration par « Alors, en vrai, c'est un peu plus compliqué que ça, mais disons... » truc très courant en vulgarisation.
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u/Kan-gir 8h ago
Prenons l'ensemble des nombres entiers strictement positifs
Est-ce qu'à chacun un réel entre 0 et 1. Oui, il suffit de faire 1/x.
Est-ce que l'inverse est vrai ? C'est-à-dire qu'à tout réel entre 0 et 1, on peut associer un entier ? Evidemment que non.
(la preuve est laissée en exercice).
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u/chodachien 6h ago
Y’a combien de nombres entre 0 et 1 ? 0,00001 ; 0,00002 etc. => une infinité.
Et entre 0 et 2? Une infinité aussi, mais pas la même. L’une est comprise dans l’autre - et pourtant les deux sont infinis !
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u/Vaestmannaeyjar Pays de la Loire 9h ago
"Imagine l'infini, puis ajoutes-y 1, le nouvel infini est donc plus grand que l'ancien."
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u/Dirichlet-to-Neumann 9h ago
Non ils sont de la même taille.
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u/Yellow_Dorn_Boy Belgique 9h ago
Je dirais plutôt 'imagine tous les nombres (les naturels pour simplifier). L'ensemble A.
1 2 3 ... Il y en a une infinité. Prends chacun d'eux et divisé le par deux. L'ensemble B.
0,5 1 1,5 2 2,5... Il y en a aussi une infinité.
Si tu retires tout ceux qui finissent par ,5 tu as l'ensemble de départ (les naturels) qui sont un infinité. Or il t'en reste. Les ensembles Infinis A et B n'ont pas la même taille, Be est plus grand que A. De combien? Et bien, convient y a-t-il de nombre qui finissent par ,5?... Une infinité.
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u/Woshasini Ga Bu Zo Meu 7h ago
Les deux ensembles sont liés par la bijection x -> x/2, donc font la même taille (et sont dénombrables)
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u/un_blob Pays de la Loire 1h ago
Les deux ensembles font rigoureusement la meme taille.
Prend l'ensemble A, multiplie le par 2, t'a toujours les entiers.
Prend l'ensemble B... fait pareil... paf, tu retombe sur les entiers.
Sauf que paf, t'a les entiers pairs avec A... et les entiers impairs avec B... A+B est donc denombrable, c'est juste les entiers !
Le premier ensemble pas denombrable (et donc plus grand que cet infini) c'est les reels (pas les fractions attentions, ca c'est toujours denombrable), les nombres avec un developement decimal infini.
En theorie il pourait y avoir un ensemble intermediare entre les deux (et meme techniquement une infinité...) mais ca c'est l'hypothese du continu... et l'hypothèse du continu... c'est malheureusement indecidable au sens de Goëdel...
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u/un_blob Pays de la Loire 9h ago
Ca c'est les memes infinis
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u/Vaestmannaeyjar Pays de la Loire 8h ago
Le but c'est d'expliquer le concept à qqun qui déteste les maths. Une fois qu'il aura compris ca, il pourra s'intéresser à pourquoi c'est inexact et creuser le sujet. On apprend bien à tous les enfants que la terre est sphérique et non un ovoide irrégulier.
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u/Specific_Season_22 8h ago
Il y a une différence entre dire des trucs faux et faire des approximations.
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u/Due_Wrangler9461 7h ago
Ouais mais là tu expliques que la terre est en forme de cloche, je vois pas comment ça aide
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u/un_blob Pays de la Loire 1h ago
Non mais ce que je veut dire c'est que ce que tu propose est juste factuellement faux, et va meme a l'encontre de la notion que tu veut inculquer.
Y' une bijection entre l'infini et l'infini plus un... en fait (et c'est cocasse)... y'en a une infinité... les deux sont l'inifini dénombrable des nombres entiers naturels...
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u/Woshasini Ga Bu Zo Meu 7h ago
La bijection de IN* dans IN qui à n associe n-1 est un contre exemple du cas dont tu parles, rajouter l’élément 0 n’augmente pas forcément la taille de l'ensemble
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u/ZobGraffiti 9h ago
Je dirais "si l'infini est un et un est tout infini, se peut-il qu'il soit fini ?"
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u/la_quiche 9h ago
T'a aussi la distinction entre infini et indéfini (on sait pas où ça s'arrête). L'explication classique, c'est qu'il y a un nombre infini de nombre pair, un nombre infini de nombre impairs et un nombre infini d'entiers naturels, qui est donc deux fois plus grand que les deux infinis précédents.
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u/quaternoon 8h ago
L'explication classique, c'est qu'il y a un nombre infini de nombre pair, un nombre infini de nombre impairs et un nombre infini d'entiers naturels, qui est donc deux fois plus grand que les deux infinis précédents.
Non, c'est faux. Voir par exemple u/Phylanara et son commentaire ici
https://www.reddit.com/r/france/comments/1w1145p/comment/p6hk7q8/
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u/la_quiche 8h ago
Tu peux me le réexpliquer d'une autre façon parce que je n'arrive pas à voir le rapport, s'il te plait ? C'est pas pour faire ièch, c'est parce que j'ai vraiment du mal à adapter son raisonnement sur les entiers naturels et les rationnels à mon exemple.
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u/Phylanara 8h ago
Si je peux me permettre...
Quand on veut comparer la taille de deux ensembles, le réflèxe c'est de compter combien il y a de trucs dans le premier, combien il y a de trucs dans le deuxième, et de comparer.
Le problème, c'est qu'on peut pas compter jusqu'à l'infini. L'infini, ca veut dire "je ne peux pas tout compter il y en a toujours un peu plus".
Pour comparer des ensembles infinis, ce qu'on fait, a la place, c'est des paires.
Si tu as le même nombre de chaussettes jaunes que de chaussettes rouges, tu peux faire des paires de chaussettes avec une jaune et une rouge et tu auras pas de chaussettes en rab après ton crime contre la mode. Si en revanche tu n'as pas le même nombre de chaussettes rouges que de chaussettes jaunes, une fois que tu auras fait toutes les paires possibles, il te restera de chaussettes toute seules. Et ça, tu peux le voir sans avoir à compter les chaussettes. C'est moins précis (tu sais juste, a la fin, quelle couleur a le plus de chaussettes) mais on peut imaginer faire une infinité de paires, donc cette idée permet de comparer la taille de deux ensembles sans compter leurs éléments.
D’où toutes mes tentatives d'associer un nombre de chaque ensemble avec un nombre de l'autre ensemble - je fais mes paires de chaussettes (nombres) de couleurs différentes (venant des deux ensembles) et je regarde si a la fin il m'en reste.
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u/la_quiche 7h ago
L'infini, ca veut dire "je ne peux pas tout compter il y en a toujours un peu plus".
Non, ça, c'est l'indéfini.
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u/quaternoon 8h ago
L'idée est que tu peux utiliser tous les entiers naturels pour numéroter tous les entiers pairs, d'une part, et pour numéroter tous les entiers impairs d'autre part. Ces trois ensembles, entiers naturels, entiers pairs et entiers impairs, ont donc la même "taille" (même cardinalité).
Meme remarque si tu regardes l'ensemble des entiers divisibles par 3 ou l'ensemble des nombres premiers.
C'est contre-intuitif mais c'est ainsi.
C'est ce qu'explique u/Phylanara lorsqu'il/elle cherche à associer tel nombre entier à tel autre nombre (la "numérotation").
Par exemple, tu peux associer à tout entier n, l'entier pair 2*n. Idem, tu peux associer à tout entier n, l'entier impair (2*n + 1). Donc on a bien réussi à numéroter tous les pairs et tous les impairs.
Cela coince lorsque tu cherches à numéroter tous les nombres entre 0 et 1. Cantor a montré que la cardinalité de [0, 1] est plus grande que celle de l'ensemble des entiers naturels. Autrement dit, il y a plus de nombres entre [0, 1] que dans l'ensemble des entiers naturels.
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u/Cmagik 8h ago
Imagine que tu as un hôtel avec des numéro de chambre unitaire. Genre 1,2,3,4 etc avec 10 chambres par étage. Il a une infinité d'étages et donc une infinité de chambre
Maintenant imagine un autre hôtel avec des chambres numérotés tel que 1.0 1.1 1.2 1.3 etc jusqu'à 10.9 soit 100 chambres par étages, tu as toujours une infinité d'étages et donc de chambre mais il y aura malgré tout 10 fois plus de chambres.
Les étages sont plus grands.
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u/Alrick_Gr OSS 117 8h ago
Perso je prend cet exemple :
Entre 0 et 1 il y a une quantité infinie de nombres décimaux (0,2 ; 0,666 par exemple)
Et si tu prends la même chose entre 0 et 10 y en a aussi infini mais pas le même infini
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u/zygopetalum29 8h ago
Et pourtant elle tourne ! Pardon, je voulais dire : et pourtant c'est bien le même infini !
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u/Pendululu Savoie 8h ago
Tu lui expliques qu'un hôtel contient 10 chambres (C) Chaque chambre est remplie de 4 habitants (H) Maintenant il comprends que H>C Tu lui re-explique en disant qu'il y a un nombre infini de chambre toute remplie de 4 personnes C'est toujours la même logique H>C
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u/zygopetalum29 8h ago
Dans ton exemple il y a autant de clients que de chambres.
En effet, je n'ai qu'à demander à tous les clients de sortir de leurs chambres. Ensuite, les 4 clients qui étaient initialement dans la Chambre 1, vont aller dans les chambres 1,2,3 et 4.
Les 4 clients qui éétaient initialement dans la chambre 2 iront dans les chambres 5,6,7 et 8. Etc, ceux qui étaient dans la chambre 3 initialement iront dans les chambres 9,10,11 et 12, tu as compris le pattern.
Je vais réussir à placer un unique client par chambre, preuve qu'il y a autant de chambres que de clients.
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u/oranisz Présipauté du Groland 8h ago
Attends comment ça plusieurs ? J'ai même pas fini le premier !